세계 7대 난제 중에서 가장 대중들에게 알려져 있고 가장 악명이 높은 난제 리만가설, 100년이 넘게 이어져 온 지금까지 많은 수학자의 도전이 이어지고 수학자들이 좋아하는 가설 1순위에 많이 거론되곤 한다. 그렇다면 도대체 이 리만 가설이 무엇이길래 이렇게까지 많은 수학자가 이 가설에 관심을 가지는 것일까.
본격적으로 칼럼을 작성하기에 앞서 이 난제는 최소 수학 대학원까지는 진학해야지 이해할 수 있을 정도로 고난도의 난제이다. 그러므로 필자도 정확히 이 문제를 어떻게 풀어야 하고 어떤 원리이며 제대로 된 설명은 해 줄 수 없다. 그러나 필자는 이 난제에 대한 설명을 들었을 때 수학이란 학문이 관심이 생겼고 온몸에 전율이 올랐다. 이 같은 마음을 이 글을 읽는 사람들에게도 전해지기를 바라면서 칼럼을 시작하겠다.
우리는 중학교를 입학하자마자 소수라는 것을 배우게 된다. ‘약수가 1과 자기 자신뿐인 수’ 이것이 우리가 배우는 소수의 정의이다. 그리고 거기에 더해서 우리는 소수에는 규칙성이 없다는 것도 배우게 된다. 그러나 그 소수에 규칙성이 있다고 하면 믿어지는가?
바로 이 리만 가설이 말한다, 소수에는 논리적이고 수학적인 규칙성이 있다는 것을 말이다. 먼저 리만 가설에 대해서 간단히 설명해보겠다.
소수는 모든 수를 만들 수 있는 가장 아름다운 수라고 수학계에서 칭한다. 그러기에 아주 옛날부터 학자들은 소수라는 수에 관심이 갈 수밖에 없을 터이다. 오일러도 그중 하나였다. 오일러는 생각했다, 만약 전혀 불규칙해 보이는 소수의 나열에 규칙성을 찾을 수만 있다면 세상에 진리에 더 가까이 갈 수 있는 것이 아닐까 하는 것을 말이다. (인용: https://www.youtube.com/watch?v=kxkmehbo4UI&t=308s)
그리고 오일러는 위의 공식을 알아내게 된다. 전혀 규칙성이 없어 보이던 소수라는 수에 우주에서 가장 완벽하다는 도형인 원에서 나오는 원주율이라는 값이 도출된 것이다. 그리고 이제 여기서 리만이 등장한다. 리만은 이 식에서 잘하면 소수를 논리적이고 수학적으로 규칙적으로 만들기 위한 고민을 하는데 여기서 나온 게 리만 제타 함수이다. 리만 제타 함수는 편의상 z(x) 라는 것으로 표기하겠다.
z(x)는 오일러가 찾아낸 규칙에서 2제곱 대신에 x라는 미지수를 집어넣은 함수이다. 이 식을 통해 리만이라는 사람은 이 함수에 대한 그래프를 생각하게 되고 더해서 리만은 함수의 제로섬 -함수의 값을 0으로 만드는 수-을 찾는 데 노력하였다. 그런데 여기서 정말로이지 엄청나게 충격적인 사실을 리만은 발견하게 된다. 바로 그래프에서 그 제로섬 4개가 일직 선상에 있던 것이다. (그리고 그 제로 점의 모든 실수 부분이 모두 1/2에 위치함) 여기서 리만은 이 유명한 가설을 찾은 것이다.` 의 알려지지 않은 영점들은 1/2이다…. (직선상에 있다)`라는 가설을 말이다. 이는 기존에 수학자들의 호기심만 자극했던 소수에는 규칙성이 있을 그것이라는 것에서 이제 증명의 심판대 위에 오를 수 있는 가설로 등극했다는 것이다. 그리고 이 가설은 100년이 훨씬 넘은 지금까지 증명되지 않으며 악마의 난제로 수학자들의 한이 걸렸다고 볼 수 있다.
(참고: https://www.youtube.com/watch?v=kxkmehbo4UI&t=308s)
여기서 추가로 흥미로운 점은 양자역학에서 미시세계의 운동 법칙을 기술하는 식인 아래의 식과
여기서 추가로 흥미로운 점은 양자역학에서 미시세계의 운동 법칙을 기술하는 식인 위의 식과 z(x)의 두 근 사이의 거리가 u일 확률을 나타내는 식인 아래의 식이 정확하게 일치한다는 것이다.
이 세계에서 가장 기본적인 물질을 연구하는 양자역학의 세계와 수학에서 가장 기본적인 수인 소수가 공통된 규칙성을 가진다는 것이다. 소름 듣는 부분이 아닌가? 여기서 우리는 다시 한번 이 우주는 어떤 정해진 규칙으로 돌아가고 그 모든 우리가 모르는 비밀의 기본에는 양자역학과 소수가 있다는 것을 생각해볼 수 있다.
이 수학 난제는 악마의 난제라고 불리는 이유가 있다. 바로 이 가설을 연구하던 학자들은 다 젊은 나이에 급사했거나 자살했기 때문이다. 이를 보고 사람들은 인간이 신의 세계를 알아내려고 하기에 우리를 벌한다는 우스갯소리도 들리곤 한다. 그리고 어떤 사람은 리만 가설은 결국 증명을 할 수 없을 것이라고 한다. 그런데도 지금 많은 학자는 이 가설에 많은 힘을 쏟는 이유에는 아무래도 이 우주의 비밀을 알고 싶어 하는 욕구가 있기 때문이지 않을까? 이 기회에 우리가 지식적인 공부보다 호기심을 자극하고 진리를 찾아 나가는 공부에 관심을 더 둘 수 있는 계기가 될 수 있으면 좋을 것 같다.
이 리만가설을 통해 수학이라는 학문에 빠지게 되었고 우리가 지금 고등학교 때 배우는 수학은 정말 극히 일부분이라는 것을 깨달았다. 우리가 아는 수학은 단지 정답만 맞히고 땡이지만 사실 수학이란 학문은 극히 철학적인 학문이다. 끊임없이 질문하고 정확한 논리를 통해 답을 이끌어나가야 하기 때문이다. 그래서 우리나라 학생들이 이러한 흥미로운 가설을 통해 수학이란 학문이 단지 딱딱한 게 아니라 정말 능동적이고 재밌으며 우리가 아는 수학이 극히 일부라는 것을 깨달았으면 좋겠다.
지금까지 부족한 글을 읽어줘서 감사하고 필자 또한 비전문가이기에 틀린 부분이 있을 때 바로 지적하면 고치도록 하겠다.
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